Даден е триъгълник АВС. Точка M е среда на АВ, точка N е среда на ВС и точка P е среда на АС. Точка G е медицентър на триъгълник ABC. Построяваме окръжност с център точка М и радиус МG и продължаваме СМ. Пресечната точка на продължението на правата СМ с окръжността я означаваме с К. Ако лицето на триъгълник MNC е 46 см2 да се намери лицето на фигурата АКВС

РЕШЕНИЕ:

 

SAKBC = SABC + SABK

1) Намиране на лицето на Δ ABC
Разглеждам Δ MNC и Δ MBN и твърдя, че са равнолицеви. Лицето на Δ MNC е = ½ NC * височината към NC. Лицето на Δ MBN е = ½ BN * височината към BN. Височините са едни и същи за двата триъгълника(от т. М перпендикулярна права към BC), а отсечките BN и CN са равни по условие, защото точка N е среда. ⇒ че двата триъгълника са равнолицеви. ⇒ че лицето на Δ BMC е = 2*46 = 92 см2
Разглеждам Δ AMC и Δ BMC и твърдя, че са равнолицеви. Лицето на Δ AMC е = ½ AM * височината към AM. Лицето на Δ BMC е = ½ BM * височината към BM. Височините са едни и същи за двата триъгълника, а правите AM и BM са равни по условие, защото точка M е среда. ⇒ че двата триъгълника са равнолицеви. Щом са равнолицеви ⇒ че лицето на Δ ABC е 2*92 = 184 см2
1) Намиране на лицето на Δ AKB
Четириъгълника АКВG е успоредник, защото диагоналите му се разполовяват от точка М(М среда на АВ и КG). Четириъгълник, чиито диагонали взаимно се разполовяват, е успоредник. ⇒ че триъгълниците AKB и ABG са еднакви и равнолицеви. Значи ще търсим лицето на Лицето на Δ ABG.
Как да намерим колко е лицето на триъгълник АВG?
Има свойство, че ако т. G дели СМ в съотношение m:n, то в същото отношение дели и лицето. Т. G е медицинтър и дели в съотношение 2:1 че SBMG: SBGC се отнася 1:2
От лявата страна съществуват същите зависимости и чрез събиране мога да кажа, че лицето на Δ ABG : лицето на фигурата AGBC се отнасят също 1:2 или SABG : SABC се отнася 1:3

⇒ че лицето на Δ ABG  = SABC / 3
SABK = 184 / 3

SAKBC = 184 + 184/3